二次函数的图象与y轴的公共点，用x等于0代入函数去求。抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：
1、图象与y轴肯定相交，交点坐标为（0，c）；即x等于0代入函数式求得y等于0。
2、与x轴交点用y等于0代入函数式去解出x；
当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点；
当△=0.图象与x轴只有一个交点；
当△<0.图象与x轴没有交点。
二次函数公共点的取值范围
有两种办法可以判断二次函数公共点y=Ax²+bx+c的取值范围：
第一个是依据图像的性质，简单点说，就是看a，a大于0，开口向上，有最小值，4a分之4ac-b的平方，a小于0，开口向下，有最大值，4a分之4ac-b的平方。
第二是依据对称轴，负二a分之b，也是先看a，将对称轴横坐标代入式子求值。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次需要为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的概念是一个二次多项式（或单项式）。假如令y值等于零，则可得一个二次方程，该方程的解称为方程的根或函数的零点。
二次函数公共点问题解题方法
例题：已知二次函数，=x2+bx+m图象的对称轴为直线x=2,将二次函数y=x2+bx+m图象中y轴左边部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C。
（1）求b的值；
（2）①当m<0时，图C与x轴交于点M,N（M在N的左侧），与y轴交于点P。当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中-4≤y<0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（-1，-1），B（5，-1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围。
【剖析】
（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；
（2）①求出M（2-,0），N（2+,0），再求出MN=2,MV的中点坐标为（2,0），借助直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；
②求出抛物线y=x2-4x-1（x≥0）与直线y=-4的交点为（1,-4），（3，-4），再求出y=x2-4x-1关于x轴对称的抛物线分析式为y=-x2+4x+1（x<0）当-x2+4x+1=-4时，解得x=5（舍）或x=-1,抛物线y=-x2+4x+1（x<0）与直线y=-4的交点为（-1，-4），结合图像可得-1≤x<2-或0≤x≤1或3≤x<2+时，-4≤v<0;
（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可。
[分析]（1）∵已知二次函数y=x2+bx+m图象的对称轴为直线x=2,∴b=-4;
（2）①令x2+bx+m=0,
解得x=2-或x=2+,
∵M在N的左边，
∴M（2-，0），N（2+,0），
∴MN=2,MN的中点坐标为（2,0），
∵△MNP为直角三角形，
解得m=0（舍）或m=-1;
②∵m=-1,
∴=x2-4x-1（x≥0），
令x2-4x-1=-4,
解得x=1或x=3,
∴抛物线y=x2-4x-1（x≥0）与直线y=-4的交点为（1,-4），（3,-4），
∵y=x2-4x-1关于x轴对称的抛物线分析式为y=-x2+4x+1（x<0），
当-x2+4x+1=-4时，解得x=5（舍）或x=-1,
∴抛物线y=-x2+4x+1（x<0）与直线p=-4的交点为（-1,-4），
∴-1≤x<2-或0≤x≤1或3≤x<2+时，-4≤y<0;
（3）y=x²-4:x+m关于x轴对称的抛物线分析式为y=-x2+4x-m（x<0），
当y=-x2+4x-m（x<0）经过点A时，-1-4-m=-1,
解得m=-4,
∴y=x2-4x-4（x≥0），当x=5时，y=1,
∴y=x2-4x-4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴m=-4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
当y=x2-4:x+m（x≥0）经过点（0，-1）时，m=-1,
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴-4≤m<-1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
当y=-x2+4x-m（x<0）经过点（0，-1）时，m=1,
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y=x2-4x+m（x≥0）的顶点在线段AB.上时，m-4=-1,
解得m=3,
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m<3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；。
综上所述：-4≤m<-1或1≤m<3时，线段AB与图象C恰有两个公共点。
